Английский язык 

Как разложить на линейные множители квадратный трехчлен. Примеры разложения многочленов на множители. Методы разложения на множители

Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax 2 + bx + c , где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Коэффициент а называют старшим коэффициентом , c – свободным членом квадратного трехчлена.

Примеры квадратных трехчленов:

2 x 2 + 5 x + 4 (здесь a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 – 7x + 5 (здесь a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x – 9 (здесь a = 9, b = 9, c = -9)

Коэффициент b или коэффициент c либо оба коэффициента одновременно могут быть равны нулю. Например:

5 x 2 + 3 x (здесь a = 5, b = 3, c = 0, поэтому значение c в уравнении отсутствует).

6x 2 – 8 (здесь a = 6, b = 0, c = -8)

2x 2 (здесь a = 2, b = 0, c = 0)

Значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль, называют корнем многочлена .

Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c , надо приравнять его к нулю –
 то есть решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 (см.раздел "Квадратное уравнение").

Разложение квадратного трехчлена на множители

Пример:

Разложим на множители трехчлен 2x 2 + 7x – 4.

Мы видим: коэффициент а = 2.

Теперь найдем корни трехчлена. Для этого приравняем его к нулю и решим уравнение

2x 2 + 7x – 4 = 0.

Как решается такое уравнение – см. в разделе «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу назовем результат вычислений. Наш трехчлен имеет два корня:

x 1 = 1/2, x 2 = –4.

Подставим в нашу формулу значения корней, вынеся за скобки значение коэффициента а , и получим:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Полученный результат можно записать иначе, умножив коэффициент 2 на двучлен x – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Задача решена: трехчлен разложен на множители.

Такое разложение можно получить для любого квадратного трехчлена, имеющего корни.

ВНИМАНИЕ!

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен имеет один корень, но при разложении трехчлена этот корень принимают как значение двух корней – то есть как одинаковое значение x 1 и x 2 .

К примеру, трехчлен имеет один корень, равный 3. Тогда x 1 = 3, x 2 = 3.

Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.

Эта математическая программа выделяет квадрат двучлена из квадратного трехчлена , т.е. делает преобразование вида:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) и раскладывает на множители квадратный трехчлен : \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел \(p, q \) и \(n, m \)

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода квадратного многочлена

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} x + \frac{1}{7}x^2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки . В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Пример подробного решения

Выделение квадрата двучлена. $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} = $$ $$2\left(x^2 + 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x + \left(\frac{1}{2} \right)^2 \right)-\frac{9}{2} = $$ $$2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$ Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$ Разложение на множители. $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Решить

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...


Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудьте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .



Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена

Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+p) 2 +q, где p и q - действительные числа, то говорят, что из квадратного трехчлена выделен квадрат двучлена .

Выделим из трехчлена 2x 2 +12x+14 квадрат двучлена.


\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)


Для этого представим 6х в виде произведения 2*3*х, а затем прибавим и вычтем 3 2 . Получим:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Т.о. мы выделили квадрат двучлена из квадратного трехчлена , и показоли, что:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Разложение на множители квадратного трехчлена

Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+n)(x+m), где n и m - действительные числа, то говорят, что выполнена операция разложения на множители квадратного трехчлена .

Покажем на примере как это преобразование делается.

Разложим квадратный трехчлен 2x 2 +4x-6 на множители.

Вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Преобразуем выражение в скобках.
Для этого представим 2х в виде разности 3x-1x, а -3 в виде -1*3. Получим:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Т.о. мы разложили на множители квадратный трехчлен , и показоли, что:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Заметим, что разложение на множители квадратного трехчлена возможно только тогда, когда, квадратное уравнение, соответсвующее этому трехчлену имеет корни.
Т.е. в нашем случае разложить на множители трехчлен 2x 2 +4x-6 возможно, если квадратное уравнение 2x 2 +4x-6 =0 имеет корни. В процессе разложения на множители мы установили, что уравнение 2x 2 +4x-6 =0 имеет два корня 1 и -3, т.к. при этих значениях уравнение 2(x-1)(x+3)=0 обращается в верное равенство.

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач

Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax^2+bx+c, где х – переменная, a, b и с – некоторые числа, причем а не равно нулю.
Собственно, первое что нам нужно знать, чтобы разложить злополучный трехчлен на множители – теорема. Выглядит она следующим образом: “Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ax^2+bx+c, то ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)”. Конечно, существует и доказательство этой теоремы, но оно требует некоторых теоретических знаний (при вынесении за скобки в многочлене ax^2+bx+c множителя а получаем ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x + c/a). По теореме Виетта x1+x2=-(b/a), х1*х2=с/а, следовательно b/a=-(x1+x2), с/а=х1*х2. значит, x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)= (x-x1)(x-x2). значит, ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) . Иногда учителя заставляют учить доказательство, но если оно не востребовано, советую просто запомнить итоговую формулу.

2 шаг

Возьмем как пример трехчлен 3x^2-24x+21. Первое, что нам нужно сделать – приравнять трехчлен к нулю: 3x^2-24x+21=0. Корни полученного квадратного уравнения и будут корнями трехчлена, соответственно.

3 шаг

Решим уравнение 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Итак, решаем. Кто не знает как решать квадратные уравнения, смотрите в мою инструкцию с 2-мя способами их решения на примере этого же уравнения. Получились корни х1=7, х2=1.

4 шаг

Теперь, когда у нас есть корни трехчлена, можно смело подставлять их в формулу =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
получаем:3x^2-24x+21=3(х-7)(х-1)
Можно избавиться от члена а, внеся его в скобки: 3x^2-24x+21=(х-7)(х*3-1*3)
в итоге получаем: 3x^2-24x+21=(х-7)(3х-3). Примечание: каждый из полученных множителей ((х-7), (3х-3) являются многочленами первой степени. Вот и все разложение =) Если сомневаетесь в полученном ответе, всегда можно его проверить, перемножив скобки.

5 шаг

Проверка решения. 3x^2-24x+21=3(х-7)(х-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Теперь мы точно знаем, что наше решение верно! Надеюсь, моя инструкция кому-нибудь поможет =) Удачи в учебе!

  • В нашем случае в уравнении D >0 и мы получили по 2 корня. Если бы было D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
  • Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Разложение квадратного трехчлена на множители может пригодится при решении неравенств из задачи С3 или задачи с параметром С5. Так же многие текстовые задачи B13 решатся значительно быстрее, если вы владеете теоремой Виета.

Эту теорему, конечно, можно рассматривать с позиций 8-го класса, в котором она впервые проходится. Но наша задача - хорошо подготовиться к ЕГЭ и научиться решать задания экзамена максимально эффективно. Поэтому в этом уроке рассмотрен подход немного отличный от школьного.

Формулу корней уравнения по теореме Виета знают (или хотя бы видели) многие:

$$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 · x_2 = \frac{c}{a},$$

где `a, b` и `c` - коэффициенты квадратного трехчлена `ax^2+bx+c`.

Чтобы научиться легко пользоваться теоремой, давайте поймем, откуда она берется (так будет реально легче запомнить).

Пусть перед нами есть уравнение `ax^2+ bx+ с = 0`. Для дальнейшего удобства разделим его на `a` получим `x^2+\frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0`. Такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением.

Важная мысль урока: любой квадратный многочлен, у которого есть корни, можно разложить на скобки. Предположим, что наш можно представить в виде `x^2+\frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = (x + k)(x+l)`, где `k` и `l` - некоторые константы.

Посмотрим, как раскроются скобки:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Таким образом, `k+l = \frac{b}{a}, kl = \frac{c}{a}`.

Это немного отличается от классической трактовки теоремы Виета - в ней мы ищем корни уравнения. Я же предлагаю искать слагаемые для разложения на скобки - так не нужно помнить про минус из формулы (имеется в виду `x_1+x_2 = -\frac{b}{a}`). Достаточно подобрать два таких числа, сумма которых равна среднему коэффициенту, а произведение - свободному члену.

Если нам нужно решение именно уравнения, то оно очевидно: корни `x=-k`или `x=-l` (так как в этих случаях одна из скобок занулится, значит, будет равно нулю и все выражение).

На примере покажу алгоритм, как раскладывать квадратный многочлен на скобки.

Пример первый. Алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители

Путь у нас есть квадртаный трехчлен `x^2+5x+4`.

Он приведенный (коэффициент у `x^2` равен единице). Корни у него есть. (Для верности можно прикинуть дискриминант и убедиться, что он больше нуля.)

Дальнейшие шаги (их нужно выучить, выполнив все тренировочные задания):

  1. Выполнить следующую запись: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Вместо точек оставьте свободное место, туда будем дописывать подходящие числа и знаки.
  2. Рассмотреть все возможные варианты, как можно разложить число `4` на произведение двух чисел. Получим пары "кандидатов" на корни уравнения: `2, 2` и `1, 4`.
  3. Прикинуть, из какой пары можно получить средний коэффициент. Очевидно, что это `1, 4`.
  4. Записать $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
  5. Следующий этап - расставить знаки перед вставленными числами.

    Как понять и навсегда запомнить, какие знаки должны быть перед числами в скобках? Попробуйте раскрыть их (скобки). Коэффициент перед `x` в первой степени будет `(± 4 ± 1)` (пока что знаков мы не знаем - нужно выбрать), и он должен равняться `5`. Очевидно, что здесь будут два плюса $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

    Выполните эту операцию несколько раз (привет, тренировочные задания!) и больше проблем с этим не будет никогда.

Если нужно решить уравнение `x^2+5x+4`, то теперь его решение не составит труда. Его корни: `-4, -1`.

Пример второй. Разложение на множители квадратного трехчлена с коэффициентами различных знаков

Пусть нам нужно решить уравнение `x^2-x-2=0`. Навскидку дискриминант положительный.

Идем по алгоритму.

  1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
  2. Разложение двойки на целые множители есть только одно: `2 · 1`.
  3. Пропускаем пункт - выбирать не из чего.
  4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
  5. Произведение наших чисел отрицательное (`-2` - свободный член), значит, одно из них будет отрицательное, а другое - положительное.
    Поскольку их сумма равна `-1` (коэффициент при `x`), то отрицательным будет `2` (интуитивное объяснение - двойка большее из двух чисел, оно сильнее "перетянет" в отрицательную сторону). Получим $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Третий пример. Разложение квадратного трехчлена на множители

Уравнение `x^2+5x -84 = 0`.

  1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
  2. Разложение 84 на целые множители: `4· 21, 6· 14, 12· 7, 2·42`.
  3. Поскольку нам нужно, чтобы разница (или сумма) чисел равнялась 5, то нам подойдет пара `7, 12`.
  4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
  5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Надеюсь, разложение этого квадратного трехчлена на скобки понятно.

Если нужно решение уравнения, то вот оно: `12, -7`.

Задания для тренировки

Предлагаю вашему вниманию несколько примеров, которые легко решаются с помощью теоремы Виета. (Примеры взяты из журнала "Математика", 2002.)

  1. `x^2+x-2=0`
  2. `x^2-x-2=0`
  3. `x^2+x-6=0`
  4. `x^2-x-6=0`
  5. `x^2+x-12=0`
  6. `x^2-x-12=0`
  7. `x^2+x-20=0`
  8. `x^2-x-20=0`
  9. `x^2+x-42=0`
  10. `x^2-x-42=0`
  11. `x^2+x-56=0`
  12. `x^2-x-56=0`
  13. `x^2+x-72=0`
  14. `x^2-x-72=0`
  15. `x^2+x-110=0`
  16. `x^2-x-110=0`
  17. `x^2+x-420=0`
  18. `x^2-x-420=0`

Спустя пару лет после написания статьи появился сборник из 150 заданий для разложения квадратного многочлена по теореме Виета.

Ставьте лайки и задавайте вопросы в комментариях!

Класс: 9

Тип урока: урок закрепления и систематизации знаний.

Вид урока: Проверка, оценка и коррекция знаний и способов действий.

Цели:

  • Образовательные:
– выработать у учащихся умение раскладывать квадратный трехчлен на множители;
– закрепление знаний в процессе решения различных заданий по указанной теме;
– формирование математического мышления;
– повысить интерес к предмету в процессе повторения пройденного материала.
  • Воспитательные:
    • – воспитание организованности, сосредоточенности;
    – воспитание положительного отношения к учебе;
    – воспитание любознательности.
  • Развивающие:
    • – развивать умение осуществлять самоконтроль;
    – развивать умение рационально планировать работу;
    – развитие самостоятельности, внимания.

    Оборудование: дидактический материал для устной работы, самостоятельной работы, тестовые задания для проверки знаний, карточки с домашним заданием, учебник по алгебре Ю.Н. Макарычева.

    План урока.

    Этапы урока Время, мин Приемы и методы
    I. Этап актуализации знаний. Мотивация учебной проблемы 2 Беседа учителя
    II. Основное содержание урока. Формирование и закрепление у учащихся представления о формуле разложения квадратного трехчлена на множители. 10 Объяснение учителя. Эвристическая беседа
    III. Формирование умений и навыков. Закрепление изученного материала 25 Решение задач.
    Ответы на вопросы учащихся
    IV. Проверка усвоения знаний. Рефлексия 5 Сообщение учителя.
    Сообщение учащихся
    V. Домашнее задание 3 Задание на карточках

    Ход урока

    I. Этап актуализации знаний. Мотивация учебной проблемы.

    Организационный момент.

    Сегодня на уроке мы проведем обобщение и систематизацию знаний по теме: “Разложение квадратного трехчлена на множители”. Выполняя различные упражнения, вы должны отметить для себя моменты, на которые вам необходимо уделить особое внимание при решении уравнений и практических задач. Это очень важно при подготовке к экзамену.
    Запишите тему урока: “Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение примеров”.

    II. Основное содержание урока. Формирование и закрепление у учащихся представления о формуле разложения квадратного трехчлена на множители.

    Устная работа.

    – Для успешного разложения квадратного трехчлена на множители нужно помнить как формулы нахождения дискриминанта и формулы нахождения корней квадратного уравнения, формулу разложения квадратного трехчлена на множители и применять их на практике.

    1. Посмотрите на карточки “Продолжите или дополните утверждение”.

    2. Посмотрите на доску.

    1. Какой из предложенных многочленов не является квадратным?

    1) х 2 – 4х + 3 = 0;
    2) – 2х 2 +х – 3 = 0;
    3) х 4 – 2х 3 + 2 = 0;
    4) 2х 3 – 2х 2 + 2 = 0;

    Дайте определение квадратного трехчлена. Дайте определение корня квадратного трехчлена.

    2. Какая из формул не является формулой для вычисления корней квадратного уравнения?

    1) х 1,2 = ;
    2) х 1,2 = – b + ;
    3) х 1,2 = .

    3. Найти коэффициенты а, b, с квадратного трехчлена – 2х 2 + 5х + 7

    1) – 2; 5; 7;
    2) 5; – 2; 7;
    3) 2; 7; 5.

    4. Какая из формул является формулой для вычисления корней квадратного уравнения

    x 2 + px+ q = 0 по теореме Виета?

    1) x 1 + x 2 = p ,
    x     1 · x 2 = q .

    2) x 1 + x 2 = – p ,
    x     1 · x 2 = q .

    3) x 1 + x 2 = – p ,
    x     1 · x 2 = – q .

    5. Разложить квадратный трехчлен х 2 – 11х + 18 на множители.

    Ответ: (х – 2)(х – 9)

    6. Разложить квадратный трехчлен у 2 – 9у + 20 на множители

    Ответ: (х – 4)(х – 5)

    III. Формирование умений и навыков. Закрепление изученного материала.

    1. Разложите на множители квадратный трехчлен:
    а) 3x 2 – 8x + 2;
    б) 6x 2 – 5x + 1;
    в) 3x 2 + 5x – 2;
    г) -5x 2 + 6x – 1.

    2. Разложение на множители помогает нам при сокращении дробей.

    3. Не используя формулу корней, найдите корни квадратного трехчлена:
    а) x 2 + 3x + 2 = 0;
    б) x 2 – 9x + 20 = 0.

    4. Составьте квадратный трехчлен, корнями которого являются числа:
    а) x 1 = 4; x 2 = 2;
    б) x 1 = 3; x 2 = -6;

    Самостоятельная работа.

    Самостоятельно по вариантам выполнить задание с последующей проверкой. На первые два задания необходимо дать ответ “Да” или “нет”. Вызываются по одному ученику от каждого варианта (они работают на отворотах доски). После того как самостоятельная работа выполнена на доске, проводится совместная проверка решения. Учащиеся оценивают свои работы.

    1-й вариант:

    1. D<0. Уравнение имеет 2 корня.

    2. Число 2 является корнем уравнения х 2 + 3х – 10 = 0.

    3. Разложить квадратный трехчлен на множители 6x 2 – 5x + 1;

    2-й вариант:

    1. D>0. Уравнение имеет 2 корня.

    2.Число 3 является корнем квадратного уравнения х 2 – х – 12 = 0.

    3.Разложить квадратный трехчлен на множители 2х 2 – 5х + 3

    IV. Проверка усвоения знаний. Рефлексия.

    – Урок показал, что вы знаете основной теоретический материал этой темы. Мы обобщили знания