Основные формулы по физике - колебания и волны. Затухающие колебания. Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания. Вынужденные колебания. Резонанс Второй закон ньютона для затухающих колебаний

При изучении этого раздела следует иметь в виду, что колебания различной физической природы описываются с единых математических позиций. Здесь надо четко уяснить такие понятия, как гармоническое колебание, фаза, разность фаз, амплитуда, частота, период колебани.

Надо иметь в виду, что во всякой реальной колебательной системе есть сопротивления среды, т.е. колебания будут затухающими. Для характеристики затухания колебаний вводится коэффициент затухания и логарифмический декремент затухани.

Если колебания совершаются под действием внешней, периодически изменяющейся силы, то такие колебания называют вынужденными. Они будут незатухающими. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.

Переходя к изучению электромагнитных волн нужно четко представлять, что электромагнитная волна - это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле. Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является электрический диполь. Если диполь совершает гармонические колебания, то он излучает монохроматическую волну.

Таблица формул: колебания и волны

Физические законы, формулы, переменные	Формулы колебания и волны
Уравнение гармонических колебаний: где х - смещение (отклонение) колеблющейся величины от положения равновесия; А - амплитуда; ω - круговая (циклическая) частота; α - начальная фаза; (ωt+α) - фаза.
Связь между периодом и круговой частотой:
Частота:
Связь круговой частоты с частотой:
Периоды собственных колебаний 1) пружинного маятника: где k - жесткость пружины; 2) математического маятника: где l - длина маятника, g - ускорение свободного падения; 3) колебательного контура: где L - индуктивность контура, С - емкость конденсатора.
Частота собственных колебаний:
Сложение колебаний одинаковой частоты и направления: 1) амплитуда результирующего колебания где А 1 и А 2 - амплитуды составляющих колебаний, α 1 и α 2 - начальные фазы составляющих колебаний; 2) начальная фаза результирующего колебания
Уравнение затухающих колебаний: е = 2,71... - основание натуральных логарифмов.
Амплитуда затухающих колебаний: где А 0 - амплитуда в начальный момент времени; β - коэффициент затухания;
Коэффициент затухания: колеблющегося тела где r - коэффициент сопротивления среды, m - масса тела; колебательного контура где R - активное сопротивление, L - индуктивность контура.
Частота затухающих колебаний ω:
Период затухающих колебаний Т:
Логарифмический декремент затухания:
Связь логарифмического декремента χ и коэффициента затухания β:

Причина затухания заключается в том, что во всякой колебательной системе, кроме возвращающей силы, всегда действуют разного рода , сопротивление воздуха

и т. п., которые тормозят движение. При каждом размахе часть расходуется на работу против сил трения. В конечном итоге на эту работу уходит весь запас энергии, сообщенный колебательной системе первоначально.

Рассматривая , мы имели дело с идеальными, строго периодическими собственными колебаниями. Описывая при помощи такой модели реальные колебания, мы сознательно допускаем неточность в описании. Однако подобное упрощение является пригодным в силу того, что у многих колебательных систем затухания колебаний, вызванные трением, действительно малы: система успевает совершить много колебаний прежде, чем их уменьшится заметным образом.

Графики затухающих колебаний

При наличии затухания собственное колебание (рис.1) перестает быть гармоническим. Более того, затухающее колебание перестает быть периодическим процессом — трение влияет не только на амплитуду колебаний (то есть является причиной затухания), но и на продолжительность размахов. С увеличением трения время, необходимое системе для совершения одного полного колебания, увеличивается. График затухающих колебаний представлен на рис. 2.

Рис.1. График свободных гармонических колебаний

Рис.2. График затухающих колебаний

Характерной чертой колебательных систем является то, что небольшое трение влияет на период колебаний в гораздо меньшей степени, чем на амплитуду. Это обстоятельство сыграло огромную роль в усовершенствовании часов. Первые часы с построил голландский физик и математик Христиан Гюйгенс в 1673 г. Этот год можно считать датой рождения современных часовых механизмов. Ход часов с маятником мало чувствителен к изменениям, обусловленным трением, которые в общем случае зависят от многих факторов, в то время как скорость хода предшествующих безмаятниковых часов очень сильно зависела от трения.

На практике возникает потребность как в уменьшении, так и в увеличении затухания колебаний. К примеру, при конструировании часовых механизмов стремятся уменьшить затухание колебаний балансира часов. Для этого ось балансира снабжают острыми наконечниками, которые упираются в хорошо отполированные конические подпятники, выполненные из твердого камня (агата или рубина). Наоборот, во многих измерительных приборах очень желательно, чтобы подвижная часть устройства устанавливалась в процессе измерений быстро, но совершая большого числа колебаний. Для увеличения затухания в этом случае применяют различные демпферы – устройства, увеличивающие трение и, в общем случае, потерю энергии.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания называются свободными , если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид:

где - колеблющаяся величина, - циклическая частота.

- решение этого уравнения. Здесь - амплитуда , - начальная фаза.

Фаза колебаний.

Амплитуда - максимальное значение колеблющейся величины.

Период колебаний - промежуток времени, через который происходит повторение движения тела. Фаза колебания за период получает приращение . . , - число колебаний.

Частота колебаний - число полных колебаний, совершаемых в единицу времени. . . Измеряется в герцах (Гц).

Циклическая частота - число колебаний, совершаемых за секунд. . Единица измерения .

Фаза колебаний - величина, стоящая под знаком косинуса и характеризующая состояние колебательной системы в любой момент времени.

Начальная фаза - фаза колебаний в начальный момент времени. Фаза и начальная фаза измеряются в радианах ().

Свободные затухающие колебания - колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

- логарифмическим декрементом затухания .

Величина N e - это число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная величина для данной колебательной системы.

Для характеристики колебательной системы используют понятие добротности Q , которая при малых значениях логарифмического декремента равна

.

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА

Теоретическое обоснование методики определения коэффициентатрения

Наклонный маятник представляет собой шар, подвешенный на длинной нити и лежащий на наклонной плоскости.

Если шар отвести из положения равновесия (ось OO 1) на угол a, а затем отпустить, то возникнут колебания маятника. При этом шар будет кататься по наклонной плоскости около положения равновесия (рис. 1, а). Между шаром и наклонной плоскостью будет действовать сила трения качения. В результате колебания маятника будут постепенно затухать, то есть будет наблюдаться уменьшение во времени амплитуды колебаний.

Можно предположить, что по величине затухания колебаний могут быть определены сила трения и коэффициент трения качения.

Выведем формулу, которая связывает уменьшение амплитуды колебаний с коэффициентом трения качения m.При качении шара по плоскости сила трения совершает работу. Эта работа уменьшает полную энергию шара. Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергий. В тех положениях, где маятник максимально отклонен от положения равновесия, его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия равны нулю.

Эти точки называются точками поворота. В них маятник останавливается, поворачивается и движется обратно. В момент поворота энергия маятника равна потенциальной энергии, поэтому уменьшение потенциальной энергии маятника при его движении от одной точки поворота до другой равна работе силы трения на пути между точками поворота.

Пусть А - точка поворота (рис. 1, а). В этом положении нить маятника составляет угол a с осью OO 1 .Если бы трения не было, то через половину периода маятник оказался бы в точке N , а угол отклонения был бы равен a. Но из-за трения шар немного не докатится до точки N и остановится в точке В .Это и будет новая точка поворота. В этой точке угол нити с осью OO 1 будет равен . За половину периода угол поворота маятника уменьшился на . Точка В расположена несколько ниже, чем точка А, и поэтому потенциальная энергия маятника в точке В меньше, чем в точке А. Следовательно, маятник потерял высоту при перемещении из точки А в точку В .

Найдем связь между потерей угла и потерей высоты . Для этого спроецируем точки A и B на ось OO 1 (см. рис. 1, а). Это будут точки A 1 и B 1 соответственно. Очевидно, что длина отрезка А 1 В 1

где - длина нити.

Так как ось OO 1 наклонена под углом к вертикали, проекция отрезка на вертикальную ось и есть потеря высоты (рис. 1, б):

При этом изменение потенциальной энергии маятника при переходе его из положения A в положение В равно:

, (3)

где m - масса шара;

g - ускорение свободного падения.

Вычислим работу силы трения.

Сила трения определяется по формуле:

Путь , пройденный шаром за половину периода колебаний маятника, равен длине дуги AB :

.

Работа силы трения на пути :

Но , поэтому с учетом уравнений (2), (3), (4) получается

. (6)

Выражение (6) существенно упрощается с учетом того, что угол очень мал (порядка 10 -2 радиан). Итак, . Но . Поэтому .

Таким образом, формула (6) приобретает вид:

,

. (7)

Из формулы (7) видно, что потеря угла за половину периода определяется коэффициентом трения m и углом a. Однако можно найти такие условия, при которых от угла a не зависит. Учтем, что коэффициент трения качения мал (порядка 10 -3). Если рассматривать достаточно большие амплитуды колебаний маятника a, такие, при которых , то слагаемым в знаменателе формулы (7) можно пренебречь и тогда:

.

С другой стороны, пусть угол a будет малым настолько, чтобы можно было считать, что . Тогда потеря угла за половину периода колебаний будет определяться формулой:

. (8)

Формула (8) справедлива, если:

. (9)

Из-за того, что m имеет порядок 10 -2 , неравенству (9) удовлетворяют углы a порядка 10 -2 -10 -1 радиан.

Итак, за время одного полного колебания потеря угла составит:

,

а за n колебаний - .

Формула (10) дает удобный способ определения коэффициента трения качения. Необходимо измерить уменьшение угла Da n за 10-15 ко-лебаний, а затем по формуле (10) вычислить m.

В формуле (10) величина Da выражена в радианах. Чтобы использовать значения Da в градусах, формулу (10) необходимо видоизменить:

. (11)

Выясним физический смысл коэффициента трения качения. Рассмотрим сначала более общую задачу. Шар массой m и моментом инерции I c относительно оси, проходящей через центр масс, движется по гладкой поверхности (рис. 2).

Рис. 2

К центру масс C приложена сила , направленная вдоль оси ox и являющаяся функцией координаты x . Со стороны поверхности на тело действует сила трения F ТР. Пусть момент силы трения относительно оси, проходящей через центр C шара, равен M ТР.

Уравнения движения шара в этом случае имеют вид:

; (12)

, (13)

где - скорость центpa масс;

w - угловая скорость.

В уравнениях (12) и (13) четыре неизвестных: , w, F ТР, M ТР. В общем случае задача не определена.

Допустим, что:

1) тело катится без проскальзывания. Тогда:

где R - радиус шара;

2) тело и плоскость являются абсолютно жесткими, т.е. тело не деформируется, а касается плоскости в одной точке О (точечный контакт), тогда между моментом силы трения и силой трения имеется связь:

. (15)

С учетом формул (14) и (15) из уравнений (12) и (13) получаем выражение для силы трения:

. (16)

Выражение (16) не содержит коэффициента трения m, который определяется физическими свойствами соприкасающихся поверхностей шара и плоскости, такими, как шероховатость, или вид материалов, из которых изготовлены шар и плоскость. Этот результат - прямое следствие принятой идеализации, отражаемой связями (14) и (15). Кроме того, легко показать, что в принятой модели сила трения не совершает работы. Действительно, умножим уравнение (12) на , а уравнение (13) — на w. Учитывая, что

и

и складывая выражения (12) и (13), получаем

где W (x ) - потенциальная энергия шара в поле силы F (x ). Следует учесть, что

Если принять во внимание формулы (14) и (15), то правая часть равенства (17) обращается в нуль. В левой части равенства (17) стоит производная по времени от полной энергии системы, которая состоит из кинетической энергии поступательного движения шара , кинетической энергии вращательного движения и потенциальной энергии W (х ). Это значит, что полная энергия системы - постоянная величина, т.е. сила трения не совершает работы.

Очевидно, что и этот несколько странный результат также следствие принятой идеализации. Это свидетельствует о том, что принятая идеализация не отвечает физической реальности. В самом деле, в процессе движении шар взаимодействует с плоскостью, поэтому его механическая энергия должна убывать, а это значит, что связи (14) и (15) могут быть верны лишь настолько, насколько можно пренебречь диссипацией энергии.

Совершенно ясно, что в данном случае нельзя принять такую идеализацию, поскольку наша цель - определить по изменению энергии маятника коэффициент трения. Поэтому будем считать справедливым предположение об абсолютной жесткости шара и поверхности, а значит, и справедливой связи (15). Однако откажемся от предположения, что шар движется без проскальзывания. Мы допустим, что имеет место слабое проскальзывание.

Пусть скорость точек касания (на рис. 2 точка О) шара (скорость проскальзывания):

. (19)

Тогда, подставляя в уравнение (17) и учитывая условия (15) и (20), приходим к уравнению:

, (21)

из которого видно, что скорость диссипации энергии равна мощности силы трения. Результат вполне естественный, т.к. тело скользит по поверхности со скоростью и, нанего действует сила трения, совершающая работу, вследствие чего полная энергия системы уменьшается.

Выполняя в уравнении (21) дифференцирование и учитывая соотношение (18), получаем уравнение движения центра масс шара:

. (22)

Оно аналогично уравнению движения материальной точки массой:

, (23)

под действием внешней силы F и силы трения качения:

.

Причем, F ТР - обычная сила трения скольжения. Следовательно, при качении шара эффективная сила трения, которую называют силой трения качения, есть просто обычная сила трения скольжения, умноженная на отношение скорости проскальзывания к скорости центра масс тела. На практике часто наблюдается случай, когда сила трения качения не зависит от скорости тела.

Видимо, в этом случае скорость проскальзывания и пропорциональна скорости тела:

Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний системы с течением времени расходуется на работу против сил трения, поэтому собственные колебания всегда затухают – их амплитуда постепенно уменьшается. Потеря энергии происходит и при деформациях тел, так как вполне упругих тел не существует, а деформации не вполне упругих тел сопровождаются частичным переходом механической энергии в энергию хаотического теплового движения частиц этих тел.

Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание механических колебаний, пропорциональны величине скорости. Будем называть эти силы, независимо от их происхождения, силами трения или сопротивления и вычислять их по следующей формуле: . Здесь r – коэффициент сопротивления среды, – скорость движения тела. Знак минус указывает на то, что силы трения всегда направлены в сторону, противоположную направлению движения тела.

Запишем уравнение второго закона Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний пружинного маятника

Здесь: m – масса груза, k – жесткость пружины, – проекция скорости на ось ОХ, – проекция ускорения на ось ОХ. Поделим обе части уравнения (13) на массу m и перепишем его в виде:

. (14)

Введем обозначения:

, (15)

. (16)

Назовем коэффициентом затухания, а мы ранее назвали собственной циклической частотой. С учетом введенных обозначений (15 и 16) уравнение (14) запишется

. (17)

Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний любой природы. Вид решения этого линейного дифференциального уравнения второго порядка зависит от соотношения между величиной – собственной частотой незатухающих колебаний и коэффициентом затухания .

Если трение очень велико (в этом случае ), то система, выведенная из положения равновесия, возвращается в него, не совершая колебаний («ползет»). Такое движение (кривая 2 на рис.3) называют апериодическим.

Если же в начальный момент система с большим трением находится в положении равновесия и ей сообщается некоторая начальная скорость , то система достигает наибольшего отклонения от положения равновесия , останавливается и после этого смещение асимптотически стремится к нулю (рис.4).

Рис.3 Рис.4

Если система выведена из положения равновесия при условии и отпущена без начальной скорости, то система также не переходит положения равновесия. Но в этом случае время практического приближения к нему оказывается меньше, чем в случае большого трения (кривая 1 на рис 3). Такой режим называется критическим и к нему стремятся при использовании различных измерительных приборов (для быстрейшего отсчета показаний).

при малом трении (в этом случае ) движение носит колебательный характер (рис.5) и решение уравнения (17) имеет вид:

(19)

описывает изменение амплитуды затухающих колебаний со временем. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени (рис.5) и тем быстрее, чем больше коэффициент сопротивления и чем меньше масса колеблющегося тела, то есть чем меньше инертность системы.

Рис.5

Величину

называют циклической частотой затухающих колебаний. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Поэтому назвать частотой можно лишь условно в том смысле, что она показывает, сколько раз за секунд колеблющаяся система проходит через положение равновесия. По этой же причине величину

(21)

можно назвать условным периодом затухающих колебаний .

Для характеристики затухания введем следующие величины:

Логарифмический декремент затухания;

Время релаксации;

Добротность.

Отношение двух любых последовательных смещений, разделенных во времени одним периодом называют декрементом затухания .

Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t+T (натуральный логарифм отношение двух любых последовательных смещений, разделенных во времени одним периодом):

Поскольку и , то .

Воспользуемся формулой зависимости амплитуды от времени (19) и получим

Выясним физический смысл величин и . Обозначим через промежуток времени, за который амплитуда затухающих колебаний убывает в е раз и назовем его временем релаксации . Тогда . отсюда следует, что

До сих пор мы рассматривали гармонические колебания, возникающие, как это уже отмечалось, при наличии в системе единственной силы - силы упругости или квазиупругой силы. В окружающей нас природе, строго говоря, таких колебаний не существует. В реальных системах кроме упругих или квазиупругих сил всегда присутствуют и другие силы, отличающиеся по характеру действия от упругих - это силы, возникающие при взаимодействии тел системы с окружающей средой - диссипативные силы. Конечным результатом их действия является переход механической энергии движущегося тела в теплоту. Другими словами, происходит рассеяние или диссипация механической энергии. Процесс рассеяния энергии не является чисто механическим и для своего описания требует привлечения знаний из других разделов физики. В рамках механики мы можем описать этот процесс путем введения сил трения или сопротивления. В результате рассеяния энергии амплитуда колебаний убывает. В этом случае принято говорить, что колебания тела или системы тел затухают. Затухающие колебания уже не являются гармоническими, так как их амплитуда и частота со временем изменяются.

Колебания, которые вследствие рассеяния энергии в колеблющейся системе происходят с непрерывно уменьшающейся амплитудой, называются затухающими. Если колебательная система, выведенная из состояния равновесия, совершает колебания под действием только внутренних сил, без сопротивления и рассеяния (диссипации) энергии, то совершающиеся в ней колебания называются свободными (или собственными) незатухающими колебаниями. В реальных механических системах с диссипацией энергии свободные колебания всегда затухающие. Их частота со отличается от частоты со 0 колебаний системы без затухания (о 0 тем больше, чем больше влияние сил сопротивления.

Рассмотрим затухающие колебания на примере пружинного маятника. Ограничимся рассмотрением малых колебаний. При малых скоростях колебаний силу сопротивления можно принять пропорциональной величине скорости колебательных смещений

где v = 4 - скорость колебаний; г - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом сопротивления. Знак минус в выражении (2.79) для силы сопротивления обусловлен тем, что она направлена в сторону, противоположную скорости движения колеблющегося тела.

Зная выражения для квазиупругой силы i^p = -и силы сопротивления F c = с учетом совместного действия этих сил, можно записать динамическое уравнение движения тела, совершающего затухающие колебания

В этом уравнении коэффициент (3 в соответствии с формулой (2.49) заменим на ты], после чего последнее уравнение разделим наши получим

Будем искать решение уравнения (2.81) в виде функции времени вида

Здесь пока еще неопределенная постоянная величина у. Начальная фаза в нашем рассмотрении будет для упрощения предполагаться равной нулю, т.е. мы можем «включить» секундомер тогда, когда колебательное смещение проходит через положение равновесия (нуль координаты).

Определить величину у можем путем подстановки в дифференциальное уравнение затухающих колебаний (2.81) предполагаемого решения (2.82), а также получаемых из него скорости

и ускорения

Подстановка (2.83) и (2.84) совместно с (2.82) в (2.81) дает После сокращения на /1 () е" : " и умножения на «-1» получим Решив это квадратное уравнение относительно у, имеем

Подставив у в (2.82), найдем, как зависит смещение от времени при затухающих колебаниях. Введем обозначения

где символом со обозначена угловая частота затухающих колебаний и соо угловая частота свободных колебаний без затухания. Видно, что при S > 0 частота со затухающих колебаний всегда меньше частоты

Таким образом, и, следовательно, смещение при затухающих колебаниях может быть выражено в виде

Выбор знака «+» или «-» в показателе второй экспоненты произволен и отвечает сдвигу колебаний по фазе на л . Будем записывать затухающие колебания с учетом выбора знака «+», тогда выражение (2.90) будет

Это и есть искомая зависимость смещения от времени. Ее можно переписать и в тригонометрической форме (ограничиваясь действительной частью)

Искомая зависимость амплитуды A(t ) от времени может быть представлена в виде

где А(, - амплитуда в момент времени t = 0.

Постоянную 8, равную согласно (2.88) отношению коэффициента сопротивления г к удвоенной массе т колеблющегося тела, называют коэффициентом затухания колебаний. Выясним физический смысл этого коэффициента. Найдем то время т, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшится в е (основание натуральных логарифмов е = 2,72) раз. Для этого положим

Используя соотношение (2.93), получим: или

откуда следует

Следовательно, коэффициент затухания 8 - это величина, обратная времени т, по прошествии которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится в е раз. Величина т, имеющая размерность времени, называется постоянной времени затухающего колебательного процесса.

Кроме коэффициента 8 для характеристики процесса затухания колебаний часто используют так называемый логарифмический декремент затухания X, равный натуральному логарифму отношения двух амплитуд колебаний, отделенных друг от друга промежутком времени, равным периоду Т

Выражение под логарифмом, обозначенное символом d, называется просто декрементом колебаний (декрементом затухания).

Используя выражение амплитуды (2.93), получим:

Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания. Пусть амплитуда колебаний уменьшается в е раз по прошествии N колебаний. Время т, за которое тело совершит N колебаний, можно выразить через период т = NT. Подставив это значение т в (2.97), получаем 8NT= 1. Поскольку 67"= А., то NX = 1, или

Следовательно, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, за которые амплитуда затухающих колебаний уменьшится в е раз.

В ряде случаев зависимость амплитуды колебаний от времени A{t) удобно выразить через логарифмический декремент затухания А. Показатель степени 61 выражения (2.93) можно записать согласно (2.99) следующим образом:

Тогда выражение (2.93) принимает вид

где величина, равная числу N колебаний, совершаемых системой за время т.

В таблице 2.1 проведены примерные значения (по порядку величины) логарифмических декрементов затухания некоторых колебательных систем.

Таблица 2.1

Значения декрементов затухания некоторых колебательных систем

Проанализируем теперь влияние сил сопротивления на частоту колебаний. При смешении тела из положения равновесия и возвращении его в положение равновесия, на него все время будет действовать сила сопротивления, вызывая его торможение.

Это значит, что те же самые участки пути при затухающих колебаниях будут пройдены телом за больший интервал времени, чем при свободных колебаниях. Период затухающих колебаний Т, следовательно, будет больше периода собственных свободных колебаний. Из выражения (2.89) видно, что различие в частотах становится тем больше, чем больше коэффициент затухания б. При больших б (б > соо) затухающие колебания вырождаются в апериодический {не периодический) процесс, при котором в зависимости от начальных условий система возвращается в положение равновесия сразу без его прохождения, либо перед остановкой проходит положение равновесия однократно (совершает только одно колебание) - см. рис. 2.16.

Рис. 2.16. Затухающие колебания:

На рисунке 2.16, а изображен график зависимости %{t) и A{t) (при 5 > со 0 и начальной фазе соо, колебания вовсе невозможны (этому случаю соответствует мнимое значение частоты, определяемой из равенства (2.89). Система становится демпфирующей, а колебательный процесс - апериодическим (рис. 2.16, б).

• Запись ехр(х) эквивалентна е*. Мы будем пользоваться обеими формами.
• При общем рассмотрении колебаний полное значение фазы колебаний задается начальными условиями, т.е. величиной смещения 4(0 и скорости 4(0 в начальный моментвремени (t = 0) и включает слагаемое